简论资金时间价值相关计算公式的推导

摘 要：资金时间价值是一种十分重要的财务管理观念，其内容多、计算公式复杂，掌握较为困难，本文系统的整理和分析其单利、复利、年金三种具体的资金时间价值的计算公式，从数学角度推导其过程，帮助正确的理解、掌握和运用这些重要的公式。

关键词：资金时间价值 单利 复利 年金 公式 推导

中图分类号：F234 文献标识码：A

文章编号：1004-4914（2014）12-119-02

财务管理是企业管理的一个组成部分，它是根据财经法规制度，按照财务管理的原则，组织企业财务活动，处理财务关系的一项经济管理工作。其理财之道：包括聚财（筹资）之道、用财（投资、耗费）之道、生财（收回、分配）之道几个具体环节。其研究对象是企业的资金运动及其所体现的财务关系。科学理财是财务管理的目标之一，要实现这一目标必须具备理财观念。资金（货币）时间价值观就是其中之一的观念，资金时间价值（Time Value of Money）是指资金随着时间的推移而发生的价值变动，包括时间向后、未来推移产生的价值增值和时间先前、过去推移的减值两种。资金时间价值有两种表现形式：

时间价值率（利率）i：扣除风险报酬和通货膨胀贴水后的社会平均资金利润率。

时间价值额（利息）I：计息基数×利率×时间

资金时间价值的计息方式具体有两种：分别是单利和复利

一、一次性收、付款项计算公式的推导

终值（Future Value）现在一定数量的货币资金按给定的利率计算所得到的在某个未来时间点的价值，也称为本利和。

现值（Present Value）就是以后年份收到或付出货币资金的现在价值，可用倒求本金的方法计算。

设FVn为终值，即第n年末的价值；PV0为现值，即0年（第1年初）的价值，i为利率，n为计算期数。

（一）单利的相关计算

单利（Simple Interest）计息方式：本金能带来利息，利息必须在提出以后再以本金形式投入才能生利，否则不能生利。因此，单利前提下无论计息的期数是多长，其每期计息的基数都是保持不变，始终是最初的本金。

1.单利终值：

n=1 FV1=本金+1期利息=PV0+PV0×i×1=PV0×（1+i×1）

n=2 FV2=本金+2期利息合计=PV0+PV0×i×2=PV0×（1+i×2）

同理

n=n FVn=本金+n期利息合计=PV0+PV0×i×n=PV0×（1+i×n）

即：FVn=PV0×（1+i×n）

从公式得出，单利终值的大小与本金、利率、计算期数是成正比例。即本金、利率、计算期数越大，终值越大；反之，越小。

上述单利终值的推导得出时间价值是由四个因素共同组成，如果已知其中任意三个因素都可以通过移项、合并求出唯一的一个未知数。

2.单利现值：PV0= FVn÷（1+i×n）

从公式得出，单利现值的大小与终值成正比例，与利率、计算期数是成反比例。即终值越大，利率、计算期数越小，现值越大；反之，越小。

3.利率：i=（FVn÷PV0—1）÷n

4.计算期数：n=（FVn÷PV0—1）÷i

（二）复利的相关计算

复利（Compound Interest）方式：本能生利，利息在下期则转列为本金与原来的本金

一起计息。顾名思义复利也称为利滚利。因此，复利前提下随着计息的期数越长，其每期计息的基数将逐期递增，计息的基数是以每个上期的终值（本利和）为基数。

1.复利终值。

n=1 FV1=本金+1期利息=PV0+PV0×i×1=PV0×（1+i×1）

n=2 FV2=本金+2期利息合计=PV0+PV0×i×1+FV1×i×1

=FV1+FV1×i×1=FV1×（1+i×1）=PV0×（1+i×1）（1+i×1） =PV0×（1+i×）2

同理

n=n FVn=本金+n期利息合计=PV0×（1+i）n

从公式得出，复利终值的大小与本金、利率、计算期数是成正比例。即本金、利率、计算期数越大，终值越大；反之，越小。

上述复利终值的推导得出时间价值是由四个因素共同组成，如果已知其中任意三个因素都可以通过移项、合并求出唯一的一个未知数。

2.复利现值：PV0=FVn÷（1+i）n

从公式得出，复利现值的大小与终值成正比例，与利率、计算期数是成反比例。即终值越大，利率、计算期数越小，现值越大；反之，越小。

其中（1+i）n和1÷（1+i）n分别称为复利终值系数（Future Value Interest Factor）和复利现值系数（Present Value Interest Factor）。其简略表示形式分别为FVIF i，n和PVIF i，n。相关数据可以通过查表得出。

以上两个公式，可分别改写为：

FVn=PV0×FVIF i，n

PV0= FVn×PVIF i，n

理论上利率i和计算期数n同样可以利用此法，但是由于需要涉及到对数和指数计算。故一般是采用插值法进行计算。

3.利率：在FV n、PV0和n已知情况下，推算期数i的基本步骤：

（1）计算出FVIFi，n=FVn÷PV0的具体数据。

（2）根据FVIFi，n查复利终值系数表。沿着已知的n所在行横向查找，如能找到恰好等于FVIFi，n的系数值，其对应的i值即为所求的利率。

（3）如找不到恰好为FVIFi，n的系数值，则要查找最接近FVIFi，n值的左右临界系数。

FVIFi，nl、FVIFi，n2以及对应的临界期数i1，i2，然后应用插值法求i。计算公式如下：

4.计算期数：在FVn、PV0和n已知情况下，推算期数i的基本步骤：

（1）计算出FVIFi，n= FVn÷PV0的具体数据。

（2）根据FVIFi，n查复利终值系数表。沿着已知的i所在列纵向查找，如能找到恰好等于FVIFi，n的系数值，其对应的n值即为所求的期数值。

（3）如找不到恰好为FVIFi，n的系数值，则要查找最接近FVIFi，n值的左右临界系数。

FVIFi，nl、FVIFi，n2以及对应的临界期数n1，n2，然后应用插值法求n。

二、连续性收、付款项计算公式的推导

这里的连续性收付款项，主要是以年金（Annuity）为例。年金是指一定期间内每期相等金额的收付款项。

年金必须同时具备以下四个特点：

1.连续收付款项，至少连续发生两次及以上。

2.相等的时间间隔，发生连续收付款项。

3.相等的金额，发生连续收付款项。

4.以复利方式计息。

年金主要分为：普通年金（Ordinary Annuity）、先付年金（ Annuity Due）、递延年金（Deferred Annuity）、永续年金（Perpetual Annuity）四种类型。

（一）普通年金的相关计算

如下图：

1.普通年金终值：是指每个年金按复利计算终值后的合计。

同样设FVn为终值，即第n年末的价值；PV0为现值，即0年（第1年初）的价值，A为年金，i为利率，n为计算期数。

FVn=A（1+i）0+A（1+i）1+A（1+i）2-----A（1+i）（n-1）

提出公因子A，剩余（1+i）0+（1+i）1+（1+i）2-----（1+i）（n-1）是公比为（1+i）的等比数列，代入等比数列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）0[1—（1+i）n]÷[1—（1+i）]=[（1+i）n—1]÷i

所以：FVn=A[（1+i）n—1]÷i=A×FVIFAi，n

2.普通年金现值：是指每个年金按复利计算现值后的合计。

PV0=A（1+i）-1+A（1+i）-2+A（1+i）-3-----A（1+i）-n

提出公因子A，剩余（1+i）-1+（1+i）-2+（1+i）-3-----（1+i）-n是公比为（1+i）-1的等比数列，代入等比数列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）-1[1—（1+i）-n]÷[1—（1+i）-1]=[1—（1+i）-n]÷i

所以：PV0=A[1—（1+i）-n]÷i=A×PVIFAi，n

3.利率、计算期数应用插值法求得，同上。

（二）先付年金的相关计算

如下图：

1.先付年金终值：是指每个年金按复利计算终值后的合计。

FVn=A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3-----A（1+i）n

提出公因子A，剩余（1+i）1+（1+i）2+（1+i）3-----（1+i）n是公比为（1+i）的等比数列，代入等比数列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）1[1—（1+i）n]÷[1—（1+i）]=（1+i）[（1+i）n—1]÷i

所以：FVn=A（1+i）[（1+i）n—1]÷i=A×（1+i）×FVIFAi，n

2.先付年金现值：是指每个年金按复利计算现值后的合计。

PV0=A（1+i）0+A（1+i）-1+A（1+i）-2-----A（1+i）-（n-1）

提出公因子A，剩余（1+i）0+（1+i）-1+（1+i）-2-----（1+i）-（n-1）是公比为（1+i）-1的等比数列，代入等比数列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

[1—（1+i）-n]÷[1—（1+i）-1]=（1+i）[1—（1+i）-n]÷i

所以：PV0=A（1+i）[1—（1+i）-n]÷i=A×（1+i）×PVIFAi，n

3.利率、计算期数应用插值法求得，同上。

其余两种年金的计算类似，不再重复叙述。

三、计息期短于一年的相关计算

以上有关资金时间价值的计算，主要阐述一次性收付款项和系列收付款项现值转换为终值的计算方法，这种计算的前提是计息期为一年，而且计息期数为已经给定了的。但是，在经济生活中，往往有计算期短于一年，或者需要根据已知条件确定计息期数的情况。

计息期短于一年时，计息期利率和计息期数的换算公式如下：

r=i÷m

t=n×m

r为期利率，i为年利率；m为每年的计息期数；n为年数，t为换算后的计息期数。

换算后，单利利终值和现值的计算可按下列公式进行：

FVt=PV0×（1+r×t）=PV0×[1+（i÷m）×（n×m）]=PV0×（1+i×n）

PV0=FVt÷（1+r×t）=FVt÷[1+（i÷m）×（n×m）]=FVn÷（1+i×n）

换算后，复利利终值和现值的计算可按下列公式进行：

通过上述公式转换可见：计息期短于一年不影响单利终值和现值的计算结果。只是影响复利，在一年期计息的时间越短，一年内计息的次数越多，利滚利的时间价值就越大，从而终值相比一年计息一次的终值大，现值则比一年计息一次小。

参考文献：

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[2] 孙秉璋.年金价值的计算技巧[J].甘肃高师学报，2013（3）

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[5] 石高春.浅谈货币时间价值公式之间的关系[J] 现代商业，2012（11）

[6] 朱瑞.浅析如何提高资金时间价值的教学效率[J].中国债券期货，2012（10）

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[9] 荆新，王化成，刘俊彦.财务管理学[M].北京：中国人民大学出版社，2012

[10] 李芸达.财务管理[M].长春：东北师范大学出版社，2012

[11] 郭复初，王庆成.财务管理学[M].北京：高等教育出版社，2009

（作者单位：川北医学院管理学院 四川南充 637007；作者简介：李伟，讲师，硕士研究生，从事经济及管理研究）

（责编：若佳）

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